Mirando la hora en el reloj analógico

Ahora que estamos en las fechas del cambio de hora oficial, me vienen al recuerdo una serie de curiosos “problemas de relojes”, que no me tocó resolver en mi etapa de estudiante si no años después (cuando mi hija era la que estudiaba) y sobre los que al parecer la profesora o profesor de turno decía que “eran muy interesantes” y en efecto lo son. Sirven para aguzar el ingenio y para descubrir a los alumnos y alumnas poco aplicados que siempre ha habido y habrá. Veamos de que va el asunto.

Todos desde muy pequeños hemos aprendido a conocer la hora a partir de esos relojes de los mas diversos tamaños que tenían y tienen una aguja corta que señala la hora y otra mas larga que señala los minutos. El método es tan simple que todos lo entendemos con facilidad. La aguja corta está “ a efectos prácticos” apuntando a la hora que es y la aguja larga sirve para saber los minutos que pasan o faltan para una hora dada. Como la esfera del reloj está dividida en 12 partes cada una de esas partes corresponde o representa 5 minutos de tiempo. Ahora bien como una circunferencia son 360º, esto supone que cada 5 minutos son 30º. Hasta aquí todo es muy evidente. Ahora vamos con lo mas complicado. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a una hora dada?. En principio parece algo simple pero no lo es tanto.

EL MOVIMIENTO DE LA AGUJA CORTA

A primera vista y a las 12 y cuarto por ejemplo el ángulo será de ( 3 x 30), 90º pues cada 5 minutos son 30º. En una primera aproximación así es, pero es evidente que no pueden ser exactamente 90º, porque en esos 15 minutos también se mueve la aguja corta. Por tanto serán 90º, menos “algo”. ¿Cuántos grados es ese “algo”?. Si en una hora la aguja pequeña avanza o barre 30º en 15 minutos se moverá 7,5º. Por tanto a las 12 y cuarto el ángulo formado por las agujas será de 90º-7,5º es decir 82,5º.

Si generalizamos los casos es fácil demostrar que el ángulo que gira la aguja de las horas a partir de la hora en punto es igual al número de minutos transcurridos dividido entre 2. Esto es así porque si en 60 minutos la aguja horaria se mueve 30º en M minutos será lógicamente M divido entre dos. En las horas en punto es muy sencillo saber el ángulo exacto que forman entre si las agujas de un reloj, porque la aguja horaria está exactamente sobre la hora que corresponda y el minutero exactamente sobre las 12, pero si no estamos hablando de horas en punto el asunto se torna más complejo. A las 2 y diez de la tarde por ejemplo ambas agujas estarán “casi” una encima de la otra pero no exactamente pues mientras que la aguja de los minutos está a 60º de las 12, la de las horas estará a 65º luego el ángulo que formaran será de 5º, estando la aguja horaria más adelantada que el minutero.

Lógicamente hay numerosos instantes a lo largo del día en que ambas agujas están superpuestas exactamente. Uno es a las 12 en punto. En las proximidades de la una y 5 minutos también. ¿A que hora exactamente? Pues esto ya es un asunto mas delicado. Hay que tener en cuenta que la aguja horaria se mueve a sólo 0,5º por minuto mientras que la grande (minutero) lo hace a 6º por minuto. Yo he resuelto este asunto (debe haber mas métodos), diciendo que si llamamos M a los minutos trascurridos desde la una en punto hasta que ambas agujas se superpongan es evidente que 6º multiplicado por M es igual a 0,5º multiplicado por 60 más M. Así resulta que M son 5,45454545 minutos es decir 5 minutos y 27,272727 segundos. Es decir a las 13 horas y 5,454545 minutos es cuando ambas agujas se superponen.

En esos 5,454545 minutos la aguja grande se habrá separado de las 12 exactamente (6º x 5,454545º/ minuto)= 32,727272 º. Por su parte la aguja grande se habrá separado de las 12, la cantidad de 30º, mas lo que avance en 5,45454545 minutos, que serán 5,454545 x 0,5 = 2,72727272º, es decir 32,72727272º. Por esto coinciden.

Lógicamente siguiendo esta línea de razonamiento podríamos calcular lo que ocurre cuando ambas agujas se tengan que superponer en torno a las 3 y cuarto, a las 4 y veinte,…pero por hoy lo dejamos aquí. Me temo que si sigo resultará esto un poco pesado (quizá con este simpe “aperitivo” ya lo sea), así pues quizá en otro momento sigamos. Adjunto una imagen tomada de una página de la Red que se dedica también a enseñar “problemas de relojes” (euclidesdeboedo.blogspot.com.es). Por lo que veo su autor es Daniel Benigni, un profesor entusiasta de las matemáticas.

Madrid, 25 de marzo de 2018

Rogelio Meléndez Tercero